Benutzer:IvanP/Sprachkritik

Die Kategorien „richtig“ und „falsch“ können Aussagen betreffen. Die Aussage, dass P, ist genau dann richtig, wenn P, und genau dann falsch, wenn nicht P. Sprachgebrauch kann nicht im gleichen Sinn in diese Kategorien gepackt werden. Gemeint ist vielmehr, dass er bestimmten Regeln nicht entspricht. Dies kann ein Werturteil sein oder ein neutrales Urteil, das auf ein Regelwerk Bezug nimmt, ohne zu empfehlen, diesem Regelwerk zu folgen.

Wenn Wissenschaft wie etwa von Max Weber im Rahmen des Werturteilsstreits als werturteilsfrei verstanden wird, dann ist die Sprachwissenschaft nur deskriptiv. Sie beschreibt unter anderem, wie und warum Sprache verwendet und (allgemein oder von einer bestimmten Instanz) empfunden wird. Eine Wertung muss nicht im Widerspruch zur Sprachwissenschaft stehen, bloß geht sie nicht alleine von ihr aus. Von deskriptiver Seite kann ferner auf Konsequenzen einer auferlegten Regel hingewiesen werden, insbesondere kann sie widersprüchlich bzw. unerfüllbar sein. Siehe auch die Wikipedia-Artikel Sprachkritik und Sprachpflege. Einige Kommentare:

Fangfrage

Eine Fangfrage lautet: „Wie heißt es richtig: der gerade Kurve, die gerade Kurve oder das gerade Kurve?“ Die Antwort soll sein: „Nichts davon, es gibt keine gerade Kurve.“ Kritisiert werden kann daran zunächst einmal, dass die Frage unter der Voraussetzung, dass die Antwort stimmt, eine falsche Präsupposition enthält (dass eine der Antworten „der gerade Kurve“, „die gerade Kurve“ und „das gerade Kurve“ richtig ist); die Antwort „nichts davon“ steht gar nicht zur Auswahl. Zudem ist doch „die gerade Kurve“ die richtige Antwort, wenn es um die Sprachrichtigkeit ohne Rücksicht auf die inhaltliche Richtigkeit geht (vgl. Erwin Schlonz). Wäre die Frage, was davon in einem inhaltlich richtigen Satz verwendet werden kann, so kann immer noch „die gerade Kurve“ herhalten, da es im mathematischen Sinn auch gerade Kurven gibt (sie haben die Krümmung 0). Selbst wenn eine Kurve anders definiert wird, kann im Rahmen der freien Logik immer noch so etwas gesagt werden wie: „Wenn es eine gerade Kurve gäbe, wäre die gerade Kurve gerade.“ Ähnlich verhält es sich mit folgender Abwandlung, die ich ersonnen habe: „Wie heißt es richtig: der runde Würfel, die runde Würfel oder das runde Würfel?“ Würfel im mathematischen Sinn (Hexaeder) sind nicht rund, allerdings gibt es runde Spielwürfel.

Boni und Bonusse

Vier Anmerkungen zum Video-Tutorial von Belles Lettres über den Plural von Bonus:

• Im Lateinischen gibt es das Substantiv bonus als Substantivierung des Adjektivs bonus (so wie im Deutschen der Gute möglich ist), nur hat es eine andere Bedeutung. Ich verweise dazu auf den zweiten Abschnitt des Eintrags in A Latin Dictionary.
• Der Plural Boni muss nicht auf einen Irrtum beruhen. Das Wort wurde zwar aus dem Englischen entlehnt, aber wahrscheinlich in bewusst lateinischer Form; zumindest deckt sich die Aussprache mit der von Latinismen ([ˈboːnʊs] statt [ˈboʊ̯nəs] – und als Antonym [ˈmaːlʊs]). Das könnte bereits eine Motivation sein, den Plural auch nach lateinischem Vorbild zu bilden. Das Wort dressman gibt es im Englischen nicht, dennoch soll es englisch klingen, sodass wir den Plural Dressmen bilden.
• Auch Espresso ist von der Form her italienisch, was als Motivation für den Plural Espressi genügen kann. Im Italienischen lautet der volle Name caffè espresso, während caffè per espresso einfach nur Kaffee (in Italien in der Regel eben Espresso, aber prinzipiell kann es auch anderer Kaffee sein) auf die Schnelle ist. Ob der Name tatsächlich etwas mit der Zubereitungsgeschwindigkeit zu tun hat, scheint nicht sicher zu sein, vgl. den Eintrag im Pfeifer: „[…] bleibt unklar, ob für die Benennung des Kaffees dessen rasche Zubereitung oder vielmehr die Tatsache ausschlaggebend ist, daß er für einen Gast eigens, auf ausdrücklichen Wunsch hin bereitet wird. Anschluß an die etymologische Bedeutung ‘herausgedrückt, ausgepreßt’ (nahegelegt durch die Verwendung einer unter Dampfdruck stehenden Kaffeemaschine) verbietet sich wohl, da diese im Ital. kaum lebendig ist.“
• Das Tutorial suggeriert, Bonusse sei allgemein üblicher als Boni. Mir scheint aber, dass die Mehrheit derjenigen, die überhaupt einen Plural benötigen, sich für Boni entscheidet. Das sind nicht allzu viele, sodass die fremde Form nicht allen bekannt ist, aber eben doch überwiegt (so wie Tempora gebräuchlicher ist als *Tempusse, obgleich nicht alle, die das Wort Tempus kennen, auch dessen Plural kennen). Die DWDS-Korpora liefern nur 5 Belege für Bonusse(n), bei wortschatz.uni-leipzig.de sind es 16; viele mehr finden sich für Boni (nicht als Eigenname, sondern tatsächlich als Plural von Bonus).

Pseudoanglizismen

Der Terminus Pseudoanglizismus für Ausdrücke wie Pullunder scheint unpassend, weil Pullunder insofern ein Anglizismus ist, als dass es auf englisch pull ^→ en und under ^→ en basiert, auch wenn es das Wort pullunder im Englischen nicht gibt. In der Tat sind nach einigen Definitionen alle Pseudoanglizismen Anglizismen. Eine mögliche Verteidigung des Wortes ist, es nicht als Pseudo|anglizismus zu interpretieren, sondern als Pseudoangliz|ismus, nämlich ein Wort (zum Teil) pseudoenglischsprachigen Ursprungs, also ein Wort, von dem ein Aspekt direkt aus dem Englischen zu kommen scheint, dies aber nicht tatsächlich tut. Für die Segmentierung Scheinangliz|ismus müsste eine Konstituente aus deutsch Schein- und angliz- vom Stamm von lateinisch anglicus ^→ la angenommen werden. Gar nicht möglich ist eine solche Verteidigung bei Pseudo-/Scheinentlehnung. Eine andere Möglichkeit ist, unter einem Anglizismus in dieser Bildung nicht eine konkrete Erscheinung englischsprachigen Ursprungs in einer anderen Sprache als der englischen zu verstehen, sondern etwas tatsächlich Englischsprachiges unabhängig von der konkreten Realisierung in einer Sprache (ähnlich könnte unter einer Entlehnung eine Erscheinung verstanden werden, die von einer Sprache in eine andere entlehnt wurde, unabhängig von der konkreten Realisierung in einer Sprache). Dann könnten wir sagen, dass Computer ein Anglizismus ist, weil es ein englisches Wort ist (das im Englischen als computer realisiert wird, im Deutschen als Computer, im Russischen als компьютер), Pullunder aber nicht, weil es kein englisches Wort gibt, das im Deutschen als Pullunder realisiert würde. Siehe auch:

• Angebliche Pseudoanglizismen

Zum Weiterlesen: Pseudo-English: Studies on False Anglicisms in Europe.

Determination

Eine interessante Eigenschaft vieler Sprachen ist, dass das Grundwort (Determinatum) eines Determinativkompositums nicht dessen Oberbegriff sein muss. Dr. Karl Zerlang, der erste Rektor des Ruhr-Gymnasiums Witten, meint in seinen Bemerkungen über die mathematische Terminologie ([1], [2]), die in der Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht (zweiter Jahrgang 1871) abgedruckt wurden:

3. Sprachwidrige Ausdrücke sind: Abgestumpfte Pyramide oder a. Kegel für Pyramiden- oder Kegelstumpf. Streng genommen ist auch Kreishälfte richtiger als Halbkreis.

Ebene und körperliche Geometrie, ebene und sphärische Trigonometrie gehören ebenfalls hierher.

Dann wäre es zweckmässig gewesen, bei der Einführung der neuen Masse statt Quadratmeter u. s. w. Meterquadrat u. s. w. zu sagen, weil auch hier das Quadrat das bestimmte, Meter das bestimmende Wort ist.

Die Ausdrücke Paraboloid, Ellipsoid, Hyperboloid bedeuten sprachlich etwas anderes als sachlich.

Ebenso ist unrichtig „relative Primzahlen“ statt „relativ prime Zahlen.“

Tatsächlich wird heute in einigen Schulbüchern von „Meterquadraten“ geschrieben (außerdem von „Kästchen“ und „Fliesen“, siehe TIMSS 2011), weil ein Quadratmeter kein Meter ist, sondern das Quadrat eines Meters. Das ist einerseits ein konstruierter, fast nicht gebrauchter Ausdruck, andererseits handelt es sich bei Quadratmeter um eine gewöhnliche sprachliche Erscheinung, die auch in anderen Situationen auftaucht. Wir stellen in solchen Situationen fest, dass es eigentlich zwei Lesarten gibt:

Ein substantiviertes Adjektiv ist nach der klassischen Deutung (Adjektiv als Oberbegriff, substantiviert als Präzisierung) ein echtes Adjektiv. Und zwar ein bestimmtes: Ein Adjektiv, aus dem ein Substantiv abgeleitet wurde. Eine andere Lesart ist: Mit substantiviertes Adjektiv ist nicht das Ausgangsadjektiv gemeint, sondern das Ergebnis der Substantivierung des Adjektivs, also eigentlich ein deadjektivisches Substantiv. Somit sind beide Sätze möglich:

1. fett ist ein zu Fett substantiviertes Adjektiv.
2. Fett ist ein substantiviertes Adjektiv aus fett.

Genauso lässt sich sagen:

1. 1 m² ist ein quadrierter Meter.

Quadratmeter heißt nichts anderes als quadrierter Meter, eben zu interpretieren nach nach Lesart 2. Für eine konsequente Abschaffung solcher Formen aus dem Unterricht sind weitaus größere Eingriffe erforderlich. Es kann aber auch einfach bei Quadratmeter belassen werden, wie allgemein üblich und verständlich. In der Zeitschrift des Vereines deutscher Ingenieure ([3], [4]; Band XV 1871) lesen wir:

Für die Flächenbezeichnung ist der hergebrachte Ausdruck Quadratmeter dem Meterquadrat entschieden vorzuziehen. Letztere läßt leicht Verwechslung mit Meter im Quadrat zu, sowohl bei schriftlichen Aufzeichnungen, wie bei mündlichen Vorträgen, so daß diese Bezeichnung nicht genau und sicher genug erkennen lasse, ob es sich im gegebenen Falle um eine Fläche von so und so viel Meter Quadratinhalt oder von so und so viel Meter Seitenlänge im Quadrat handle. Die Anlehnung an die französische Bezeichnung könne nicht maßgebend sein, da letztere in der geringeren Biegungsfähigkeit der französischen Sprache begründet, dem nachzuahmen keine Veranlassung vorliege.

Bei dem französischen mètre carré liegt Postdetermination vor (carré „Quadrat-“ ist das bestimmende Adjektiv, nur dass es hinter das Grundwort gesetzt wird; es ist unsinnig, deutsche Komposita nach diesem Muster umzubauen), also ist es mit der gleichen Lesart zu interpretieren wie das deutsche Quadratmeter. Übrigens gibt es im Deutschen zumindest ein Beispiel für ein (wie ich es nenne) Postdeterminativkompositum, siehe Diskussion:Inversionskompositum. Um noch eins draufzusetzen: Im eigentlichen Sinn gibt es keine Einheit namens Kilometer pro Stunde. Wenn ich sage:

1. Ich rannte 30 Kilometer pro Stunde.

Dann meine ich im eigentlichen Sinn:

1.1. Ich rannte 30 Kilometer.

Und füge noch eine Zusatzinformation hinzu:

1.2. Ich tat dies jede Stunde.

Wenn ich also zum Beispiel zwei Stunden gerannt bin, bin ich in der ersten Stunde 30 Kilometer gerannt und bin in der zweiten Stunde ebenso 30 Kilometer gerannt. Damit erreiche ich eine Durchschnittsgeschwindigkeit von 30 km/h. Das ist eigentlich nur eine Konsequenz daraus. Was ich eigentlich sagen wollte, war nicht bloß, dass ich mit dieser Durchschnittsgeschwindigkeit gerannt bin (was zum Beispiel auch der Fall wäre, wenn es in der ersten Stunde 29 Kilometer waren und in der zweiten 31 Kilometer), sondern dass ich tatsächlich jede Stunde 30 Kilometer geschafft habe. Dennoch ist es möglich, zu sagen:

2. Zu diesem Zeitpunkt rannte ich mit einer Geschwindigkeit von 30 Kilometern pro Stunde.

Oder kurz:

3. Zu diesem Zeitpunkt rannte ich 30 Kilometer pro Stunde.

Noch ein Beispiel: Mal angenommen, „die Länge“ beträgt 25 m.

Gib die Länge in Metern an.

Ich könnte den Satz interpretieren als eine Präzisierung von:

1.1. Gib die Länge an.

Präzisiert mit:

1.2. Tue dies im Format ZAHL + Meter.

Demnach müsste ich also „25 m“ schreiben statt etwa „0,025 km“. Die zweite Lesart ist:

2. Gib die Zahl an, die vor dem Meter steht, wenn die Länge in Metern angegeben wird (nach Lesart 1).

Demnach müsste ich „25“ schreiben. Henry Segerman behauptet in Bezug auf autologische Wörter, die die Eigenschaft bezeichnen, die sie selbst besitzen:

The word 'extra-extended' is not extra-extended. The word there that is extra-extended is the word 'extended'. Similarly 'extra-extra-extended' is not extra-extra-extended, it is 'extra-extended' that has been extra-extra-extended. And so on, '(extra)ⁿ-extended' is (extra)ⁿ⁺¹-extended to form '(extra)ⁿ⁺¹-extended'. Perhaps then 'extended' with infinitely many 'extra's on the front is autological?

Das Wort „Zusatz-erweitert“ ist nicht Zusatz-erweitert. Das Wort da, das Zusatz-erweitert ist, ist das Wort „erweitert“. Ähnlicherweise ist „Zusatz-Zusatz-erweitert“ nicht Zusatz-Zusatz-erweitert, es ist „Zusatz-erweitert“, das Zusatz-Zusatz-erweitert worden ist. Und so weiter, „(Zusatz-)ⁿerweitert“ ist „(Zusatz-)ⁿ⁺¹erweitert“, um „(Zusatz-)ⁿ⁺¹erweitert“ zu bilden. Vielleicht ist dann „erweitert“ mit unendlich vielen „Zusatz-“ davor autologisch?

So wie etwa Fett nach Lesart 2 als Adjektiv substantiviert ist, ist Zusatz-erweitert zumindest nach Lesart 2 als das Wort erweitert Zusatz-erweitert.

Zu prefixed („präfigiert“) schreibt er:

('pre' is the thing that gets prefixed, not the whole of the word)

(„prä“ ist das Ding, das präfigiert wird, nicht das Ganze des Wortes)

Streng genommen ist präfigiert sowieso nur eine Adjektivierung des Perfektpartizips von präfigieren. Über das unter reasonably clearly autological words („einigermaßen klar autologische Wörter“) gelistete inflected („flektiert“) lässt sich sagen: Nach Lesart 1 ist es das abstrake Wort to inflect jenseits konkreter Wortformen, das flektiert ist, nach Lesart 2 ist die Wortform als das Wort to inflect flektiert. Als autologisches Wort dürfte das aber so oder so nicht durchgehen, denn weil es sich um eine Verbform und nicht um ein Adjektiv handelt (als solches wäre es ja unflektiert), sollte die Frage nicht sein, ob inflected inflected ist (also ob inflected flektiert ist), sondern ob inflected inflected (also ob inflected flektierte). Wie soll eine Verbform flektieren?

Eine relative Primzahl ist keine „relative Zahl“, eine relativ prime Zahl muss aber auch keine prime Zahl sein, womit der vorgeschlagene Begriff (ähnlich ist englisch relatively prime number, neben relative prime number) am selben Problem wie Quadratmeter leidet.

gleichschenkliges Dreieck

Zerlang meint auch:

1. Der Begriff gleichschenkliges Dreieck ist pleonastisch, wenn man nur zwei gleiche Dreiecksseiten Schenkel nennt. Eine Erweiterung des Begriffs Schenkel zum Gegensatz der Basis ist nothwendig.

Dazu ist zu sagen, dass eigentlich zwei beliebige Seiten eines Dreiecks als Schenkel definiert werden können (so werden manchmal auch die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks Schenkel genannt, ebenso die Strahlen, die einen Winkel begrenzen). Unter der Annahme, dass die Bezeichnung eines Dreiecks als gleichschenklig zutreffend ist, ist allerdings klar, dass mit den Schenkeln die beiden gleich langen Seiten gemeint sind (sonst wäre das Dreieck nicht gleichschenklig); daher der Name.

Sinn machen

Bastian Sick schreibt:

"That makes sense" mag völlig korrektes Englisch sein, aber "Das macht Sinn" ist alles andere als gutes Deutsch. Irgendwer hat es irgendwann zum ersten Mal verkehrt ins Deutsche übersetzt […].

[…] Deutsch ist die Sprache der Macher und des Machens. Das fängt bei der Geburt an (den ersten Schrei machen) und endet mit dem Tod (den Abgang machen). Dazwischen kann man das Frühstück machen und die Wäsche, einen Schritt nach vorn und zwei zurück; man kann Pause machen, Urlaub oder blau, eine Reise ins Ungewisse und plötzlich Halt; man kann eine gute Figur machen und trotzdem einen schlechten Eindruck; man kann den Anfang machen, seinen Abschluss machen, Karriere machen; man kann drei Kreuze machen, Handstand oder Männchen; man kann die Nacht durchmachen, ein Opfer kalt machen, Mäuse, Kies und Kohle und sich ins Hemd machen; man kann andere zur Schnecke machen und sich selbst zum Affen; man kann sogar Unsinn machen - aber Sinn?

"Sinn" und "machen" passen einfach nicht zusammen. Das Verb "machen" hat die Bedeutung von fertigen, herstellen, tun, bewirken; es geht zurück auf die indogermanische Wurzel mag-, die für "kneten" steht. Das erste, was "gemacht" wurde, war demnach Teig. Etwas Abstraktes wie Sinn lässt sich jedoch nicht kneten oder formen. Er ist entweder da oder nicht. Man kann den Sinn suchen, finden, erkennen, verstehen, aber er lässt sich nicht im Hauruck-Verfahren erschaffen.

Die deutsche Sprache bietet viele Möglichkeiten, den vorhandenen oder unvorhandenen Sinn auszudrücken. Neben "Das ist sinnvoll" ist ebenso richtig: "Das ergibt einen Sinn", "Das hat einen Sinn", "Ich sehe einen Sinn darin." […]

Wenn Sick meint, dass sich überhaupt nichts Abstraktes machen lässt, widerspricht dies den von ihm gebilligten Ausdrücken „den Abgang machen“, „einen Schritt machen“, „Pause machen“, „Urlaub machen“, „eine Reise machen“, „Halt machen“, „einen schlechten Eindruck machen“, „den Anfang machen“, „seinen Abschluss machen“, „Karriere machen“ und „Handstand machen“. Anatol Stefanowitsch schreibt:

[…] Handlungen sind keine Gegenstände (man kann sie schließlich auch nicht „formen“ oder „kneten“), aber immerhin manifestieren sie sich in der gegenständlichen Welt, zählen wir sie also als konkrete (nicht-abstrakte) Substantive.

Als nächstes fallen einem vielleicht Zustände ein, die als Ergebnis einer Handlung eintreten können: […] Bei Herzklopfen etc. könnte man noch argumentieren, dass es sich um körperliche Reaktionen, also nicht um etwas Abstraktes handelt. Bei Schwierigkeiten wird das schon schwieriger und spätestens Eindruck ist ein rein mentaler Zustand, der keine gegenständlichen Manifestationen mehr hat.

Streng genommen manifestiert sich natürlich auch der Eindruck gegenständlich (im Gehirn). Keine gegenständliche Manifestation hat zum Beispiel „zwei plus zwei macht vier“. Sick könnte nun einwenden, dass er mit „Abstraktes“ oder „Abstraktes wie Sinn“ (eventuell eine Einschränkung) etwas anderes gemeint hat. Zum Wort Sinn erklärt er, er sei entweder da oder nicht – gemeint ist wohl: Etwas (Konstantes) hat entweder zu keinem oder jedem Zeitpunkt einen Sinn. Dann kann etwas wörtlich genommen aber auch keinen Sinn ergeben (vgl. Peter Kittel). Stefanowitsch steigert sich sogar zur Behauptung, dass Sick mit dieser Ansicht in überholten Philosophien stecken geblieben ist, zumal Sinn nicht in den Dingen selbst stecke, sondern im Kopf entstehe. Letztlich ist es eine Frage der Definition von Sinn (vgl. Tom Winkler): Ist damit ein Eindruck gemeint oder etwas, was erfasst werden kann? Wenn die Bedeutung der indogermanischen Wurzel entscheidend ist, müssen auch einige der Beispiele wegfallen, ein Schritt lässt sich ja auch nicht „formen oder kneten“. Vielleicht geht es aber auch gar nicht um die exakte ursprüngliche Bedeutung. Das englische Verb to make kommt auch von dieser Wurzel. Sick könnte darauf antworten, dass das keine Rolle spielt und die Etymologie nur als Erklärung für die heutige zwar ähnliche, aber doch andere Verwendung von machen gedacht war, und dass es sich mit dem Wort sense im Englischen anders verhält. Zudem lässt die Formulierung „"That makes sense" mag völlig korrektes Englisch sein“ (Hervorhebung von mir) offen, ob es denn tatsächlich korrektes Englisch ist. Wenn Sick den amtlichen Rechtschreibregeln folgen will, ist der „Deppenapostroph“ in „eines Radio-Quiz'“ falsch (in der Buchversion wurde das ausgebessert).

„(Aus/In) (Differenzen und) Summen kürzen nur die Dummen“

Wenn vom Kürzen eines Bruches die Rede ist, so ist gemeint, dass Zähler und Nenner verringert werden, indem sie durch die gleiche Zahl (> 1) dividiert werden. Auf Summen übertragen würde dies für eine Umformung der Art a + b → (a/c) + (b/c) stehen, die im Fall a = b durchaus möglich ist. Ein geeignetes, allgemeingültiges Analogon ist für Differenzen die Subtraktion: a − b = (a − c) − (b − c).

Es gibt aber noch eine andere Sprechweise, bei der kürzen mit einem Akkusativobjekt verbunden wird, das das bezeichnet, was sich bei dem Kürzen verringert, vgl. (aus dem) Zähler und Nenner kürzen und Zähler und Nenner kürzen sich weg. Gemeint ist in der Eselsbrücke das Kürzen (nach dieser zweiten Sprechweise) von Summanden eines Bruches, so wie Faktoren gekürzt werden. Auch das ist in einigen Fällen möglich: (2 + 3)/(2 · 8 + 4) = 3/(8 + 4).

Der Satz ergibt Sinn, wenn mit dem Kürzen ein „blindes“ Kürzen gemeint ist, verbunden mit der Annahme, die Methode sei allgemeingültig. Er kann auch so missverstanden werden, dass das Kürzen (nach der zweiten Sprechweise) einer Summe als Zähler oder Nenner eines Bruches nach der gewohnten Regel gemeint ist, zum Beispiel: (3 + 9)/15 = (1 + 3)/5. Walter Gellert schlägt vor, den Spruch um die Worte „… und die besonders Klugen“ zu erweitern. Das Wort kürzen hat hier einen breiteren Sinn. Ebenso wenig ist das (normale) Kürzen (nach der ersten Sprechweise) von Brüchen einer Summe gemeint.

Monotonie

Der Ausdruck monoton steigend wird sowohl in der Bedeutung „niemals fallend“ (verdeutlichend: schwach monoton steigend) als auch „immer steigend, in keinem Intervall konstant“ (verdeutlichend: stark monoton steigend) verwendet. Dabei hat monoton („eintönig“) die Bedeutung „immer nur“. Die Logik hinter der schwachen Definition lässt sich damit erklären, dass die Änderung des Funktionswerts ohne Rücksicht auf die Änderung des Arguments beschrieben wird. Gefordert wird also nur, dass für alle x₁, x₂ aus dem Definitionsbereich f(x₁) < f(x₂) ⇒ x₁ < x₂ gilt. Eine konstante Funktion ist nicht steigend, aber monoton steigend, da sie steigt, wenn sie sich verändert. Manchmal wird steigend bereits als „in jedem (statt: mindestens einem) Intervall steigend“ verstanden, sodass der Zusatz monoton nicht nötig ist. Unplausibel ist der Gebrauch von nicht fallend oder nichtfallend als innere Verneinung (wie in monoton nicht fallend). Ebenso ist monoton konstant ungebräuchlich, da konstant keine Änderung beschreibt, sondern das Ausbleiben einer Änderung; konstant reicht. Für schwach monoton steigend bieten sich auch nicht fallend und isoton an, für schwach monoton fallend auch nicht steigend und antiton. Als Oberbegriff von isoton und antiton kann monoton herhalten, streng monoton als Oberbegriff von streng monoton steigend (streng isoton) und streng monoton fallend (streng antiton).

Wahrscheinlichkeit

Indifferenzprinzip

Michael A. B. Deakin sieht die Herkunft des Wein/Wasser-Paradoxons als unklar. Jeffrey M. Mikkelson schreibe es von Mises zu, der angebe, Poincaré zu folgen, es Joseph Bertrand zuzuschreiben. Tatsächlich spricht von Mises die „Bertrandsche Paradoxie“ an ([5], [6]), will damit aber wohl nicht speziell seine Variante mit Wein und Wasser Bertrand zuschreiben. Bei Bertrands bekanntestem Paradoxon geht es darum, dass in ein Kreis ein gleichseitiges Dreieck einbeschrieben und eine Sehne des Kreises zufällig ausgewählt wird. Für die Wahrscheinlichkeit, dass die Sehne länger als eine Seite des Dreiecks ist, kommt Bertrand auf drei sich widersprechende Lösungen. Dies ist auch das Problem, auf das sich Poincaré bezieht (Seite 118 im Calcul des probabilités). Mikkelsons Variante des Wein/Wasser-Paradoxons ist die folgende:

There is a certain quantity of liquid. All that we know about the liquid is that it is composed entirely of wine and water, and that the ratio of wine to water (x) is between 1/3 and 3. So 1/3 ≤ x ≤ 3. Now, what is the probability that the ratio of wine to water is less than or equal to 2 (i.e., that x ≤ 2)?

Es gibt eine gewisse Menge an Flüssigkeit. Alles, was wir über die Flüssigkeit wissen, ist, dass sie komplett aus Wein und Wasser zusammengesetzt ist und dass das Verhältnis aus Wein und Wasser (x) zwischen 1/3 und 3 liegt. Also 1/3 ≤ x ≤ 3. Was ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass das Verhältnis zwischen Wein und Wasser kleiner als oder gleich 2 ist (d. h., dass x ≤ 2)?

Er zeigt: Wenn wir die Verhältnisse zwischen Wein und Wasser (x) gleich behandeln, ist die Lösung P(x < 2) = (2 − 1/3)/(3 − 1/3) = 5/8, wenn wir dagegen die Verhältnisse zwischen Wasser und Wein (y = 1/x) gleich behandeln, ist die Lösung P(y > 1/2) = (3 − 1/2)/(3 − 1/3) = 15/16. Sein Ansatz geht von einer Gleichbehandlung der Mengen an Wein und Wasser aus statt der Verhältnisse, sodass er auf 5/6 kommt. Weiter behauptet er:

In general, it seems that Bertrand paradoxes stem from a dubious proposition: that all candidates for the application of PI are created equal. A simple example shows this to be a mistake:

A standard-looking die is thrown. What is the probability that the square of the number that appears on the die is less than 18.5? […]

If we remain indifferent over the possible values of the square of the number that appears on the die (as the wording of the question seems to suggest), then the answer is 1/2 (since 1 ≤ x ≤ 36). This implies, however, that the probability of rolling 1, 2, 3 or 4 is also 1/2—a dicey proposition, to say the least.

Allerdings sind ja nicht alle Werte von 1 bis 36 möglich, sondern 1, 4, 9, 16, 25, 36 und keine weiteren. Als Wahrscheinlichkeit ergibt sich mit dieser Ergebnismenge bei Anwendung des Indifferenzprinzips 2/3. Sehen wir uns an der Stelle zwei Rätsel an, die Martin Gardner 1959 im Scientific American veröffentlicht hat:

• Mr. Smith has two children. At least one of them is a boy. What is the probability that both children are boys?
• Mr. Smith hat zwei Kinder. Mindestens eines von ihnen ist ein Junge. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Jungen sind?
• Mr. Jones has two children. The older child is a girl. What is the probability that both children are girls?
• Mr. Jones hat zwei Kinder. Das ältere Kind ist ein Mädchen. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder Mädchen sind?

Das zweite Rätsel löste er mit 1/2, seine Lösung des ersten Rätsels läuft dagegen der Intuition zuwider:

If Smith has two children, at least one of which is a boy, we have three equally probable cases:

Boy-boy
Boy-girl
Girl-boy.

Wenn Smith zwei Kinder hat, von denen mindestens eines ein Junge ist, haben wir drei gleich wahrscheinliche Fälle:

Junge-Junge
Junge-Mädchen
Mädchen-Junge.

In der Kolumne Probability and Ambiguity (Wahrscheinlichkeit und Mehrdeutigkeit) korrigierte er seine Lösung zu Smith: Die Antwort hänge davon ab, wie die Information „mindestens eines ist ein Junge“ erlangt wird.

• If from all families with two children, at least one of whom is a boy, a family is chosen at random, then the answer is 1/3.
• Wenn von allen Familien mit zwei Kindern, von denen mindestens eines ein Junge ist, eine Familie zufällig gewählt wird, dann ist die Antwort 1/3.
• But there is another procedure that leads to exactly the same statement of the problem. From families with two children, one family is selected at random. If both children are boys, the informant says “at least one is a boy.” If both are girls, he says "at least one is a girl." And if both sexes are represented, he picks a child at random and says "at least one is a …" naming the child picked. When this procedure is followed, the probability that both children are of the same sex is clearly 1/2. (This is easy to see because the informant makes a statement in each of the four cases—BB, BG, GB, GG—and in half of these cases both children are of the same sex.)
• Aber es gibt ein anderes Verfahren, das zu genau derselben Äußerung des Problems führt. Von Familien mit zwei Kindern wird eine Familie zufällig gewählt. Wenn beide Kinder Jungen sind, sagt der Informant: „Mindestens eines ist ein Junge.“ Wenn beide Mädchen sind, sagt er: „Mindestens eines ist ein Mädchen.“ Und wenn beide Geschlechter repräsentiert sind, wählt er zufällig ein Kind aus und sagt: „Zumindest eines ist ein …“, das gewählte Kind nennend. Wenn diesem Verfahren gefolgt wird, ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kinder das gleiche Geschlecht haben, klarerweise 1/2. (Das ist leicht zu sehen, weil der Informant eine Angabe in jedem der viel Fälle macht – BB, BG, GB, GG – und in der Hälfte dieser Fälle sind beide Kinder vom selben Geschlecht.)

Tanya Khovanova weist darauf hin, dass auch andere Antworten möglich sind, und nennt die folgenden Prozeduren als Beispiele:

• Wenn Mr. Smith zwei Jungen hat, sagt er: „Ich habe zwei Jungen.“ Wenn er genau einen hat, sagt er: „Mindestens eines von ihnen ist ein Junge.“ In diesem Fall ist die Antwort 0.
• Wenn Mr. Smith zwei Jungen hat, sagt er: „Zumindest eines von ihnen ist ein Junge.“ Wenn er einen Jungen und ein Mädchen hat, sagt er: „Ich bin der stolze Vater eines Mädchens.“ In diesem Fall ist die Antwort 1.

Nun lassen sich auch für das zweite Rätsel Prozeduren finden, die eine abweichende Antwort liefern. Wir können uns im Sinne der Kürze darauf einigen, Formulierungen wie „ein Würfel wird geworfen“ statt „ein fairer Würfel wird fair geworfen“ zu verwenden. Die Besonderheit des ersten Rätsels ist, dass zwei Sachen genannt werden, deren relevante Eigenschaft (männlich/weiblich) von der Wahl abhängig sein kann, nämlich die zwei Kinder und das eine Kind davon. Die Lösung 1/3 entspringt der Interpretation von „zwei Kinder, von denen mindestens eines ein Junge ist“ als das zufällig Gewählte (von allen zwei Kindern, von denen mindestens eines ein Junge ist), der Lösung 1/2 liegt die Vorstellung zugrunde, dass das genannte Kind der (von allen zwei Kindern) zufällig gewählten zwei Kinder zufällig gewählt wurde.

Zufallsgeräte

In Schulbüchern finden sich bisweilen Aufgaben der Art: „Gib an, ob es sich um ein Zufallsgerät handelt.“ Ein Gerät ist nicht per se ein Zufallsgerät oder Nicht-Zufallsgerät, es kommt auf die Art der Verwendung an. Ein Würfel wird natürlich eher mit Zufall assoziiert als zum Beispiel ein Thermometer, aber auch ein Thermometer kann als Zufallsgerät betrachtet werden, zum Beispiel als Buffonsche Nadel.

In einem völlig anderen Kontext liefert uns Kupka in seinem Aufsatz Das Campignien im nordeuropäischen Glazialgebiet, erschienen in der Zeitschrift für Ethnologie (1907), eine Definition: „Splitter, die durch wenig Retusche, ohne dass ihre ursprüngliche Form im wesentlichen verändert wurde, in ein Werkzeug verwandelt worden sind. Kratzer, Hohlschaber und Bohrer, von denen die ersteren stets, die letzteren teilweise unter diese Definition fallen würden, reihe ich hier nicht ein, obgleich Capitan im entgegengesetzten Sinne verfährt.“

Zufallsvariable

Im Mathematikunterricht ist mir eine solchartige Darstellung der Wahrscheinlichkeitsfunktion für die Realisation einer Zufallsvariablen begegnet:

X = xi	⋯	⋯	⋯
P(X = xi)	⋯	⋯	⋯

In der oberen Zeile stehen die Werte für x_i. Diese entsprechen nach der Aussage, deren Wahrscheinlichkeit angegeben wird, der Zufallsvariablen X, doch dieser Zusammenhang wird ohnehin in der unteren Zeile hergestellt. Die Überschrift der oberen Zeile suggeriert einerseits, dass X = x_i gilt, obwohl eigentlich die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben werden soll, andererseits ist nicht deutlich, ob die Zahlen nun Entsprechungen von X, x_i oder gar X = x_i sind. Besser:

xi	⋯	⋯	⋯
P(X = xi)	⋯	⋯	⋯

Sonstiges

In Maths Challenge: Book 3 von Tony Gardiner bin ich auf ein epistemisches Rätsel gestoßen (Schwierigeres ist unter dem Stichwort Freudenthal-Problem auffindbar), das etwa so geht:

Alice, Becky und Claire sind im logischen Denken perfekt und wissen das voneinander. Ihnen werden zwei rote zwei grüne und drei gelbe Briefmarken gezeigt. Dann werden ihnen die Augen verbunden und jedes Mädchen bekommt eine Briefmarke an die Stirn geklebt: Die übrigen vier werden in einer Schublade versteckt. Die Augenbinden werden entfernt und Alice gefragt: „Weißt du etwas – positiv oder negativ – über die Farbe der Briefmarke an deiner Stirn?“ Sie antwortet mit einem Nein. Becky erhält die gleiche Frage und antwortet ebenso mit einem Nein. Claire lächelt, denn sie kennt jetzt die Farbe der Briefmarke an ihrer Stirn. Welche ist es und warum?

Wenn das Rätsel eine Lösung hat, ist es Gelb, zumal alles, was über die rote Briefmarke herleitbar ist, analog für die grüne herleitbar ist und umgekehrt. Streng genommen genügen die Informationen nicht. Die Tatsache, dass alle drei perfekte Logikerinnen sind, bedeutet nicht, dass sie erst antworten, nachdem sie alles gefolgert haben, was relevant ist. Für eine Lösung der Aufgabe gehen wir davon aus, dass Claire weiß, dass auch dies der Fall ist und Becky es weiß. Auch wenn Vollkommenheit im logischen Denken für die Fähigkeit steht, sofort alle Schlüsse zu ziehen, so steht sie nicht dafür, dass genau das getan wird. Eine weitere Annahme ist, dass die Personen wissen, dass sie wissen, dass sie normales Englisch (bzw. Deutsch in meiner Übersetzung) sprechen, nicht lügen, nicht blind sind und das Prozedere kennen. Die Frage sollte ersetzt werden durch die klarer formulierte: „Kennst du die Farbe der Briefmarke auf deiner Stirn oder kannst du eine von Rot, Grün und Gelb ausschließen?“

• Wenn Alice zwei rote Briefmarken sehen würde, könnte sie Grün ausschließen, und wenn sie zwei grüne Briefmarken sehen würde, könnte sie rot ausschließen. Sie weiß aber „nichts“ über die Farbe der Briefmarke auf ihrer Stirn.
• Becky weiß das. Wenn sie also eine rote Briefmarke auf Claires Stirn sehen würde, würde sie wissen, dass ihre nicht rot ist, und wenn sie eine grüne Briefmarke auf Claires Stirn sehen würde, würde sie wissen, dass ihre nicht grün ist.
• Claire weiß das und kann folgern, dass ihre Briefmarke gelb ist.